AW: Schallmauer im Freifall durchbrechen ? Baumgartner will es wissen.
Fällt ein Objekt im luftleeren Raum zur Erde, dann wirken zwei Kräfte auf dieses Objekt, die beiden Kräfte sind im Gleichgewicht:
Trägheitskraft = Gewichtskraft
m * a = m * g (Gleichung 1)
m: Masse
a: Beschleunigung des Objekts
g: Erdbeschleunigung(ca. 9,81 m/s2)
In Gleichung (1) kann man die Masse m eliminieren, man erhält:
a = g (Gleichung 2)
Das heißt, das Objekt wird konstant mit 9,81 m/s2 beschleunigt, die Geschwindigkeit nimmt linear zu (natürlich nur so lange, wie man deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit bleibt, wie hier jemand schon früher bemerkt hat). Im luftleeren Raum spielt die Masse keine Rolle, eine Daunenfeder wird genauso beschleunigt wie ein Amboss.
____________________
Im luftgefüllten Raum wirken drei Kräfte auf ein Objekt, das zur Erde fällt, auch diese drei Kräfte sind im Gleichgewicht:
Trägheitskraft = Gewichtskraft – Luftwiderstandskraft
m * a = m * g – ½ * cw* A * rho * v2 (Gleichung 3)
cw: Widerstandsbeiwert
A: Frontfläche
rho: Dichte der Luft
v: Geschwindigkeit des Objekts
In Gleichung 3 lässt sich die Masse m nicht eliminieren, weil die Masse m nur in 2 der 3 Terme auftaucht (die Masse m steht nicht in dem Term für die Luftwiderstandskraft).
Was man an Gleichung 3 schön sehen kann:
Gleichung 3 ist eine Differentialgleichung. Was ist eine Differentialgleichung? Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Variable und ihre eigene Ableitung (oder ihre 2. Ableitung oder ihre 3. Ableitung oder usw.) steht. In Gleichung 3 steht die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a (a ist die Ableitung von v).
Wenn man diese Differentialgleichung löst und dabei auch berücksichtigt, dass sich die Luftdichte rho mit der Höhe ändert (siehe logarithmische Diagramme von Kalman), dann kann man sich den Verlauf der Geschwindigkeit und der Beschleunigung ausrechnen.
Dies hat Peter Bruggmüller offenbar getan und die Diagramme hier am 10.10.2012 gepostet. Feine Arbeit, ich hätte das nicht hinbekommen. Schade, Peter, dass du die Diagramme wieder gelöscht hast!
Was man an den Diagrammen von Peter sehen konnte: Baumgartner wird im Moment des Absprungs wie jeder andere Fallschirmspringer auch mit ca. 9,81 m/s² beschleunigt. Anschließend verringert sich die Beschleunigung, weil die Luftwiderstandskraft immer weiter zunimmt, weil die Geschwindigkeit weiter zunimmt und weil die Luftdichte zunimmt. Irgendwann ist die Beschleunigung null, dies ist der Moment der maximalen Geschwindigkeit. In diesem Moment ist die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft gleich groß, Baumgartner fühlt sich genauso schwer wie wir auf der Couch vor dem Fernseher. Baumgartners Geschwindigkeit wird aber nicht auf der maximalen Geschwindigkeit verharren, weil die zunehmende Dichte für eine erhöhte Luftwiderstandskraft sorgt. Baumgartner wird nun nicht mehr beschleunigt, sondern verzögert (gebremst). In der Vorberichterstattung hatte ich gehört, dass auf Baumgartner dann eine Kraft wirkt, die dem 1,4-fachen der Gewichtskraft entspricht. Im Weiteren wird er auf eine normale Fallschirmspringer-Endgeschwindigkeit abgebremst.
Mit Gleichung 3 könnte man auch ganz gezielt die maximale Geschwindigkeit berechnen. Maximale Geschwindigkeit bedeutet, die Beschleunigung ist null. Also setzt man in Gleichung 3 die Beschleunigung a auf null. Man erhält:
0 = m * g – ½ * cw* A * rho * v2
bzw.
m * g = ½ * cw* A * rho * v2
Diese Gleichung nach v aufgelöst:
v = Wurzel(2 * m * g /(cw* A * rho))
An dieser Gleichung kann man schön sehen, von was die Maximalgeschwindigkeit abhängt, nämlich von allen Größen auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen. Da sich die Luftdichte rho bei Baumgartners Sprung mit der Höhe ändert, ist die Lösung dieser Gleichung nicht trivial. Im Grunde ist es wieder eine Differentialgleichung, denn rho ist vom Weg s abhängig, und v ist die Ableitung von s.
Viele Grüße
Thomas
Fällt ein Objekt im luftleeren Raum zur Erde, dann wirken zwei Kräfte auf dieses Objekt, die beiden Kräfte sind im Gleichgewicht:
Trägheitskraft = Gewichtskraft
m * a = m * g (Gleichung 1)
m: Masse
a: Beschleunigung des Objekts
g: Erdbeschleunigung(ca. 9,81 m/s2)
In Gleichung (1) kann man die Masse m eliminieren, man erhält:
a = g (Gleichung 2)
Das heißt, das Objekt wird konstant mit 9,81 m/s2 beschleunigt, die Geschwindigkeit nimmt linear zu (natürlich nur so lange, wie man deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit bleibt, wie hier jemand schon früher bemerkt hat). Im luftleeren Raum spielt die Masse keine Rolle, eine Daunenfeder wird genauso beschleunigt wie ein Amboss.
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Im luftgefüllten Raum wirken drei Kräfte auf ein Objekt, das zur Erde fällt, auch diese drei Kräfte sind im Gleichgewicht:
Trägheitskraft = Gewichtskraft – Luftwiderstandskraft
m * a = m * g – ½ * cw* A * rho * v2 (Gleichung 3)
cw: Widerstandsbeiwert
A: Frontfläche
rho: Dichte der Luft
v: Geschwindigkeit des Objekts
In Gleichung 3 lässt sich die Masse m nicht eliminieren, weil die Masse m nur in 2 der 3 Terme auftaucht (die Masse m steht nicht in dem Term für die Luftwiderstandskraft).
Was man an Gleichung 3 schön sehen kann:
- Wenn die Luftdichte rho = 0 wäre, hätte man wieder die Situation des luftleeren Raums (Gleichung 1).
- Wenn die Geschwindigkeit des Objekts null ist, gibt es auch keine Luftwiderstandskraft – ähnlich wie beim freien Fall im luftleeren Raum. Ein Fallschirmspringer ist also im Moment des Absprungs schwerelos. Streng genommen nur im Moment des Absprungs, denn mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die Luftwiderstandskraft zu.
Gleichung 3 ist eine Differentialgleichung. Was ist eine Differentialgleichung? Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Variable und ihre eigene Ableitung (oder ihre 2. Ableitung oder ihre 3. Ableitung oder usw.) steht. In Gleichung 3 steht die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a (a ist die Ableitung von v).
Wenn man diese Differentialgleichung löst und dabei auch berücksichtigt, dass sich die Luftdichte rho mit der Höhe ändert (siehe logarithmische Diagramme von Kalman), dann kann man sich den Verlauf der Geschwindigkeit und der Beschleunigung ausrechnen.
Dies hat Peter Bruggmüller offenbar getan und die Diagramme hier am 10.10.2012 gepostet. Feine Arbeit, ich hätte das nicht hinbekommen. Schade, Peter, dass du die Diagramme wieder gelöscht hast!
Was man an den Diagrammen von Peter sehen konnte: Baumgartner wird im Moment des Absprungs wie jeder andere Fallschirmspringer auch mit ca. 9,81 m/s² beschleunigt. Anschließend verringert sich die Beschleunigung, weil die Luftwiderstandskraft immer weiter zunimmt, weil die Geschwindigkeit weiter zunimmt und weil die Luftdichte zunimmt. Irgendwann ist die Beschleunigung null, dies ist der Moment der maximalen Geschwindigkeit. In diesem Moment ist die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft gleich groß, Baumgartner fühlt sich genauso schwer wie wir auf der Couch vor dem Fernseher. Baumgartners Geschwindigkeit wird aber nicht auf der maximalen Geschwindigkeit verharren, weil die zunehmende Dichte für eine erhöhte Luftwiderstandskraft sorgt. Baumgartner wird nun nicht mehr beschleunigt, sondern verzögert (gebremst). In der Vorberichterstattung hatte ich gehört, dass auf Baumgartner dann eine Kraft wirkt, die dem 1,4-fachen der Gewichtskraft entspricht. Im Weiteren wird er auf eine normale Fallschirmspringer-Endgeschwindigkeit abgebremst.
Mit Gleichung 3 könnte man auch ganz gezielt die maximale Geschwindigkeit berechnen. Maximale Geschwindigkeit bedeutet, die Beschleunigung ist null. Also setzt man in Gleichung 3 die Beschleunigung a auf null. Man erhält:
0 = m * g – ½ * cw* A * rho * v2
bzw.
m * g = ½ * cw* A * rho * v2
Diese Gleichung nach v aufgelöst:
v = Wurzel(2 * m * g /(cw* A * rho))
An dieser Gleichung kann man schön sehen, von was die Maximalgeschwindigkeit abhängt, nämlich von allen Größen auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen. Da sich die Luftdichte rho bei Baumgartners Sprung mit der Höhe ändert, ist die Lösung dieser Gleichung nicht trivial. Im Grunde ist es wieder eine Differentialgleichung, denn rho ist vom Weg s abhängig, und v ist die Ableitung von s.
Viele Grüße
Thomas
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